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为什么你学不会递归?递归的三大要素

张帅2019-12-09 672人围观
简介 对于递归,我觉得很重要的一个事就是,这个函数的功能是什么,他要完成什么样的一件事,而这个,是完全由你自己来定义的。也就是说,我们先不管函数里面的代码什么,而是要先明白,你这个函数是要用来干什么。

可能很多人在大一的时候,就已经接触了递归了,不过,我敢保证很多人初学者刚开始接触递归的时候,是一脸懵逼的,我当初也是,给我的感觉就是,递归太神奇了!


可能也有一大部分人知道递归,也能看的懂递归,但在实际做题过程中,却不知道怎么使用,有时候还容易被递归给搞晕。也有好几个人来问我有没有快速掌握递归的捷径啊。说实话,哪来那么多捷径啊,不过,我还是想写一篇文章,谈谈我的一些经验,或许,能够给你带来一些帮助。


为了兼顾初学者,我会从最简单的题讲起!


递归的三大要素

第一要素:明确你这个函数想要干什么


对于递归,我觉得很重要的一个事就是,这个函数的功能是什么,他要完成什么样的一件事,而这个,是完全由你自己来定义的。也就是说,我们先不管函数里面的代码什么,而是要先明白,你这个函数是要用来干什么。


例如,我定义了一个函数


// 算 n 的阶乘(假设n不为0)

int f(int n){

    

}


这个函数的功能是算 n 的阶乘。好了,我们已经定义了一个函数,并且定义了它的功能是什么,接下来我们看第二要素。


第二要素:寻找递归结束条件


所谓递归,就是会在函数内部代码中,调用这个函数本身,所以,我们必须要找出递归的结束条件,不然的话,会一直调用自己,进入无底洞。也就是说,我们需要找出当参数为啥时,递归结束,之后直接把结果返回,请注意,这个时候我们必须能根据这个参数的值,能够直接知道函数的结果是什么。


例如,上面那个例子,当 n = 1 时,那你应该能够直接知道 f(n) 是啥吧?此时,f(1) = 1。完善我们函数内部的代码,把第二要素加进代码里面,如下


// 算 n 的阶乘(假设n不为0)

int f(int n){

    if(n == 1){

        return 1;

    }

}


有人可能会说,当 n = 2 时,那我们可以直接知道 f(n) 等于多少啊,那我可以把 n = 2 作为递归的结束条件吗?


当然可以,只要你觉得参数是什么时,你能够直接知道函数的结果,那么你就可以把这个参数作为结束的条件,所以下面这段代码也是可以的。


// 算 n 的阶乘(假设n>=2)

int f(int n){

    if(n == 2){

        return 2;

    }

}


注意我代码里面写的注释,假设 n >= 2,因为如果 n = 1时,会被漏掉,当 n <= 2时,f(n) = n,所以为了更加严谨,我们可以写成这样:


// 算 n 的阶乘(假设n不为0)

int f(int n){

    if(n <= 2){

        return n;

    }

}


第三要素:找出函数的等价关系式


第三要素就是,我们要不断缩小参数的范围,缩小之后,我们可以通过一些辅助的变量或者操作,使原函数的结果不变。


例如,f(n) 这个范围比较大,我们可以让 f(n) = n * f(n-1)。这样,范围就由 n 变成了 n-1 了,范围变小了,并且为了原函数f(n) 不变,我们需要让 f(n-1) 乘以 n。


说白了,就是要找到原函数的一个等价关系式,f(n) 的等价关系式为 n * f(n-1),即


f(n) = n * f(n-1)。


这个等价关系式的寻找,可以说是最难的一步了,如果你不大懂也没关系,因为你不是天才,你还需要多接触几道题,我会在接下来的文章中,找 10 道递归题,让你慢慢熟悉起来。


找出了这个等价,继续完善我们的代码,我们把这个等价式写进函数里。如下:


// 算 n 的阶乘(假设n不为0)

int f(int n){

    if(n <= 2){

        return n;

    }

    // 把 f(n) 的等价操作写进去

    return f(n-1) * n;

}


至此,递归三要素已经都写进代码里了,所以这个 f(n) 功能的内部代码我们已经写好了。


这就是递归最重要的三要素,每次做递归的时候,你就强迫自己试着去寻找这三个要素。


还是不懂?没关系,我再按照这个模式讲一些题。


有些有点小基础的可能觉得我写的太简单了,没耐心看?少侠,请继续看,我下面还会讲如何优化递归。当然,大佬请随意,可以直接拉动最下面留言给我一些建议,万分感谢!


案例1:斐波那契数列

斐波那契数列的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、34…,即第一项 f(1) = 1,第二项 f(2) = 1…,第 n 项目为 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。求第 n 项的值是多少。


1、第一递归函数功能


假设 f(n) 的功能是求第 n 项的值,代码如下:


int f(int n){

    

}


2、找出递归结束的条件


显然,当 n = 1 或者 n = 2 ,我们可以轻易着知道结果 f(1) = f(2) = 1。所以递归结束条件可以为 n <= 2 时,f(n= = 1。代码如下:


int f(int n){

    if(n <= 2){

        return 1;

    }

}


第三要素:找出函数的等价关系式


题目已经把等价关系式给我们了,所以我们很容易就能够知道 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。我说过,等价关系式是最难找的一个,而这个题目却把关系式给我们了,这也太容易,好吧,我这是为了兼顾几乎零基础的读者。


所以最终代码如下:


int f(int n){

    // 1.先写递归结束条件

    if(n <= 2){

        return 1;

    }

    // 2.接着写等价关系式

    return f(n-1) + f(n - 2);

}


搞定,是不是很简单?


零基础的可能还是不大懂,没关系,之后慢慢按照这个模式练习!好吧,有大佬可能在吐槽太简单了。


案例2:小青蛙跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。


1、第一递归函数功能


假设 f(n) 的功能是求青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法,代码如下:


int f(int n){

    

}


2、找出递归结束的条件


我说了,求递归结束的条件,你直接把 n 压缩到很小很小就行了,因为 n 越小,我们就越容易直观着算出 f(n) 的多少,所以当 n = 1时,你知道 f(1) 为多少吧?够直观吧?即 f(1) = 1。代码如下:


int f(int n){

    if(n == 1){

        return 1;

    }

}


第三要素:找出函数的等价关系式


每次跳的时候,小青蛙可以跳一个台阶,也可以跳两个台阶,也就是说,每次跳的时候,小青蛙有两种跳法。


第一种跳法:第一次我跳了一个台阶,那么还剩下n-1个台阶还没跳,剩下的n-1个台阶的跳法有f(n-1)种。


第二种跳法:第一次跳了两个台阶,那么还剩下n-2个台阶还没,剩下的n-2个台阶的跳法有f(n-2)种。


所以,小青蛙的全部跳法就是这两种跳法之和了,即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。至此,等价关系式就求出来了。于是写出代码:


int f(int n){

    if(n == 1){

        return 1;

    }

    ruturn f(n-1) + f(n-2);

}


大家觉得上面的代码对不对?


答是不大对,当 n = 2 时,显然会有 f(2) = f(1) + f(0)。我们知道,f(0) = 0,按道理是递归结束,不用继续往下调用的,但我们上面的代码逻辑中,会继续调用 f(0) = f(-1) + f(-2)。这会导致无限调用,进入死循环。


这也是我要和你们说的,关于递归结束条件是否够严谨问题,有很多人在使用递归的时候,由于结束条件不够严谨,导致出现死循环。也就是说,当我们在第二步找出了一个递归结束条件的时候,可以把结束条件写进代码,然后进行第三步,但是请注意,当我们第三步找出等价函数之后,还得再返回去第二步,根据第三步函数的调用关系,会不会出现一些漏掉的结束条件。就像上面,f(n-2)这个函数的调用,有可能出现 f(0) 的情况,导致死循环,所以我们把它补上。代码如下:


int f(int n){

    //f(0) = 0,f(1) = 1,f(2) = 2等价于 n<=2时,f(n) = n。

    if(n <= 2){

        return n;

    }

    ruturn f(n-1) + f(n-2);

}


有人可能会说,我不知道我的结束条件有没有漏掉怎么办?别怕,多练几道就知道怎么办了。


看到这里有人可能要吐槽了,这两道题也太容易了吧??能不能被这么敷衍。少侠,别走啊,下面出道难一点的。


下面其实也不难了,就比上面的题目难一点点而已,特别是第三步等价的寻找。


案例3:反转单链表。

反转单链表。例如链表为:1->2->3->4。反转后为 4->3->2->1


链表的节点定义如下:


class Node{

    int date;

    Node next;

}


虽然是 Java语言,但就算你没学过 Java,我觉得也是影响不大,能看懂。


还是老套路,三要素一步一步来。


1、定义递归函数功能


假设函数 reverseList(head) 的功能是反转但链表,其中 head 表示链表的头节点。代码如下:


Node reverseList(Node head){

    

}


2. 寻找结束条件


当链表只有一个节点,或者如果是空表的话,你应该知道结果吧?直接啥也不用干,直接把 head 返回呗。代码如下:


Node reverseList(Node head){

    if(head == null || head.next == null){

        return head;

    }

}


3. 寻找等价关系


这个的等价关系不像 n 是个数值那样,比较容易寻找。但是我告诉你,它的等价条件中,一定是范围不断在缩小,对于链表来说,就是链表的节点个数不断在变小,所以,如果你实在找不出,你就先对 reverseList(head.next) 递归走一遍,看看结果是咋样的。例如链表节点如下




我们就缩小范围,先对 2->3->4递归下试试,即代码如下


Node reverseList(Node head){

    if(head == null || head.next == null){

        return head;

    }

    // 我们先把递归的结果保存起来,先不返回,因为我们还不清楚这样递归是对还是错。,

    Node newList = reverseList(head.next);

}


我们在第一步的时候,就已经定义了 reverseLis t函数的功能可以把一个单链表反转,所以,我们对 2->3->4反转之后的结果应该是这样:




我们把 2->3->4 递归成 4->3->2。不过,1 这个节点我们并没有去碰它,所以 1 的 next 节点仍然是连接这 2。


接下来呢?该怎么办?


其实,接下来就简单了,我们接下来只需要把节点 2 的 next 指向 1,然后把 1 的 next 指向 null,不就行了?,即通过改变 newList 链表之后的结果如下:




也就是说,reverseList(head) 等价于 ** reverseList(head.next)** + 改变一下1,2两个节点的指向。好了,等价关系找出来了,代码如下(有详细的解释):


//用递归的方法反转链表

public static Node reverseList2(Node head){

    // 1.递归结束条件

    if (head == null || head.next == null) {

             return head;

         }

         // 递归反转 子链表

         Node newList = reverseList2(head.next);

         // 改变 1,2节点的指向。

         // 通过 head.next获取节点2

         Node t1  = head.next;

         // 让 2 的 next 指向 2

         t1.next = head;

         // 1 的 next 指向 null.

        head.next = null;

        // 把调整之后的链表返回。

        return newList;

    }



这道题的第三步看的很懵?正常,因为你做的太少了,可能没有想到还可以这样,多练几道就可以了。但是,我希望通过这三道题,给了你以后用递归做题时的一些思路,你以后做题可以按照我这个模式去想。通过一篇文章是不可能掌握递归的,还得多练,我相信,只要你认真看我的这篇文章,多看几次,一定能找到一些思路!!


我已经强调了好多次,多练几道了,所以呢,后面我也会找大概 10 道递归的练习题供大家学习,不过,我找的可能会有一定的难度。不会像今天这样,比较简单,所以呢,初学者还得自己多去找题练练,相信我,掌握了递归,你的思维抽象能力会更强!


接下来我讲讲有关递归的一些优化。


有关递归的一些优化思路

1. 考虑是否重复计算


告诉你吧,如果你使用递归的时候不进行优化,是有非常非常非常多的子问题被重复计算的。


啥是子问题? f(n-1),f(n-2)…就是 f(n) 的子问题了。


例如对于案例2那道题,f(n) = f(n-1) + f(n-2)。递归调用的状态图如下:




看到没有,递归计算的时候,重复计算了两次 f(5),五次 f(4)。。。。这是非常恐怖的,n 越大,重复计算的就越多,所以我们必须进行优化。


如何优化?一般我们可以把我们计算的结果保证起来,例如把 f(4) 的计算结果保证起来,当再次要计算 f(4) 的时候,我们先判断一下,之前是否计算过,如果计算过,直接把 f(4) 的结果取出来就可以了,没有计算过的话,再递归计算。


用什么保存呢?可以用数组或者 HashMap 保存,我们用数组来保存把,把 n 作为我们的数组下标,f(n) 作为值,例如 arr[n] = f(n)。f(n) 还没有计算过的时候,我们让 arr[n] 等于一个特殊值,例如 arr[n] = -1。


当我们要判断的时候,如果 arr[n] = -1,则证明 f(n) 没有计算过,否则, f(n) 就已经计算过了,且 f(n) = arr[n]。直接把值取出来就行了。代码如下:


// 我们实现假定 arr 数组已经初始化好的了。

int f(int n){

    if(n <= 1){

        return n;

    }

    //先判断有没计算过

    if(arr[n] != -1){

        //计算过,直接返回

        return arr[n];

    }else{

        // 没有计算过,递归计算,并且把结果保存到 arr数组里

        arr[n] = f(n-1) + f(n-1);

        reutrn arr[n];

    }


也就是说,使用递归的时候,必要

须要考虑有没有重复计算,如果重复计算了,一定要把计算过的状态保存起来。


2. 考虑是否可以自底向上


对于递归的问题,我们一般都是从上往下递归的,直到递归到最底,再一层一层着把值返回。


不过,有时候当 n 比较大的时候,例如当 n = 10000 时,那么必须要往下递归10000层直到 n <=1 才将结果慢慢返回,如果n太大的话,可能栈空间会不够用。


对于这种情况,其实我们是可以考虑自底向上的做法的。例如我知道


f(1) = 1;


f(2) = 2;


那么我们就可以推出 f(3) = f(2) + f(1) = 3。从而可以推出f(4),f(5)等直到f(n)。因此,我们可以考虑使用自底向上的方法来取代递归,代码如下:


public int f(int n) {

       if(n <= 2)

           return n;

       int f1 = 1;

       int f2 = 2;

       int sum = 0;


       for (int i = 3; i <= n; i++) {

           sum = f1 + f2;

           f1 = f2;

           f2 = sum;

       }

       return sum;

   }


这种方法,其实也被称之为递推。


最后总结

其实,递归不一定总是从上往下,也是有很多是从下往上的,例如 n = 1 开始,一直递归到 n = 1000,例如一些排序组合。对于这种从下往上的,也是有对应的优化技巧,不过,我就先不写了,后面再慢慢写。这篇文章写了很久了,脖子有点受不了了,,,,颈椎病?害怕。。。。


说实话,对于递归这种比较抽象的思想,要把他讲明白,特别是讲给初学者听,还是挺难的,这也是我这篇文章用了很长时间的原因,不过,只要能让你们看完,有所收获,我觉得值得!有些人可能觉得讲的有点简单,没事,我后面会找一些不怎么简单的题。最后如果觉得不错,还请给我转发 or 点赞一波!


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    妙笔生花 2019-11-01 14:44

    TheBaiRuo

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    皮皮家园 2019-11-01 20:44

    admin

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    admin 2019-11-01 11:15

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